La possibilité du choix de la recherche, de son objet, de son déroulement, amène le chercheur à une certaine familiarité avec l’environnement du concept en question, de sa structure interne. En effet, en tâtonnant, il doit  explorer, tester des hypothèses, essayer de nombreux voies avant de maitriser le problème.
Le besoin de poursuivre au-delà des premières résolutions de situations problématiques singulières, au-delà des premiers concepts acquis, se manifeste d’autant plus naturellement que l’enfant se trouve dans une dynamique personnelle soutenue par la présence constante du sens de ce qui se fait. L’exploration des situations problématiques résolues peut se poursuivre avec la découverte d’autres variances et invariances. Tout est ouvert.

Si l’apprenant est actif et peut intervenir dans la construction de ses savoirs, alors il s’implique plus dans l’apprentissage qui est ainsi facilité.
S’il est auteur, il change de statut et passe du métier d’élève à celui de chercheur. Il devient créateur, investigateur proactif dans un travail véritable qu’il s’est choisi, qu’il conduit, avec l’aide de ses pairs et de l’adulte, et dont il est responsable. Les conditions sont réunies pour une motivation autodéterminée forte.
Ses capacités de réflexion métacognitive s’accroissent.

L’intelligence collective, les perceptions individuelles  qui se manifestent pendant la présentation des travaux favorisent l’émergence de liens, de similitudes entre diverses situations, démarches, conclusions  apparemment différentes.
La part d’un adulte actif mais non intrusif, conscient du déroulement de montée en abstraction des enfants, s’avère prépondérante tout au long d’un processus de recherche libre qui prépare au transfert, et particulièrement pendant les phases structurantes qu’il pilote.

Chacun possède un capital personnel élaboré lors des recherches, mais dispose aussi des autres patrimoines de classe, d’école, des correspondants.
Les connaissances construites personnellement ou intégrées à partir de sources extérieures (les pairs, l’enseignant), la mémoire des situations, des classes de situations, des procédures de résolution, des démarches générales de traitement, tout le vécu mathématique personnel et commun de classe constituent un ensemble de ressources potentiellement disponibles et utilisables.

Toute situation problématique nouvelle à traiter peut s’avérer déstabilisatrice et anxiogène.
Les premières recherches (soit collectives ou individuelles et aidées) sont tâtonnantes, puis peu à peu, conduites avec plus d’assurance. Des invariances dans les cheminements sont découvertes (individuellement ou collectivement), et exploitées.
De nouveaux concepts apparaissent, l’expérience s’accumule et nourrit les différents patrimoines.

Le tâtonnement expérimental à l’œuvre pendant les recherches mathématiques favorise une connaissance plus intime des phénomènes étudiés. Tout le déroulement du processus, des phases initiales – la sensibilisation au phénomène et les tentatives pour le reproduire comme on peut, aux étapes suivantes – son exploration et la recherche d’une compétence opératoire, contribue à une plus grande familiarité avec la structure du concept étudié.
Cette expérience s’installe avec l’habitude de rechercher variants et invariants dans une approche dynamique, transformationnelle des événements.
Il facilite ainsi, parmi l’ensemble des situations étudiées présentes dans les patrimoines, le repérage de contextes similaires.

Avec l’expérience qui s’accumule, la recherche d’une démarche de résolution d’une situation singulière nouvelle ne démarre pas forcément de zéro. Le chercheur dispose de certains éléments généraux pour commencer ses investigations*. La  réflexion métacognitive le soutient et le guide ensuite pour relever le défi initial. Des liens de similitudes (ou de dissemblances) avec  des situations traitées par d’autres et présentes dans les patrimoines peuvent apparaître et ainsi être utilisées.
Des classes de situations, de démarches de résolution, des concepts élaborés lors de phases structurantes sont susceptibles d’être employés.
La décontextualisation devient possible.

*voir chapitre précédent : la démarche

Les éléments (démarche partielle ou complète, mode de représentation, technique opératoire,…) puisés dans les patrimoines et considérés comme potentiellement utiles sont utilisés, testés dans l’étude de la situation en cours.

Si ces éléments s’avèrent profitables, ils sont réinvestis dans le traitement en cours. S’ils ne répondent pas aux attentes, ils sont soit adaptés ou transformés pour répondre aux besoins, soit délaissés.
Selon les cas
– la situation étudiée est considérée dorénavant comme similaire dans sa résolution à celle issue du patrimoine et rejoint alors sa famille d’équivalence* avec les avantages qui en découlent. Le concept en cours s’enrichit d’une concrétisation supplémentaire.
– Dans le cas contraire, il est peut-être possible d’adapter la procédure de résolution à la situation nouvelle étudiée, d’en utiliser qu’un aspect.

*voir partie 4 : domaines math/math non numérique/relations d’équivalence

Le contenu du patrimoine est le reflet du travail mathématique. L’étude de chaque situation problématique singulière aboutit à la découverte d’un concept de « premier niveau » : un processus, une démarche et une connaissance, une technique opératoire de résolution.
L’accumulation de recherches et l’accroissement de l’expérience individuelle et collective mènent à une nouvelle montée en abstraction. C’est un changement d’objet qui s’opère : l’activité métacognitive ne s’intéresse plus à la résolution d’un problème posé, mais porte cette fois sur les situations résolues elles-mêmes, les liens qui existent entre elles, situations qui deviennent l’objet des recherches.

Les classes de situations équivalentes s’enrichissent de nouveaux éléments : la recherche « avancer de deux pas » vient s’ajouter aux autres recherches déjà présentes dans la famille. Par exemple « j’ai gagné deux euros au grattage », « j’ai acheté deux nouveaux stylos », « il y a deux enfants de plus »… Un mode de résolution unique est adopté, la « routine » +2.
De nouvelles familles de situations (classes d’équivalence) sont créées : « trois nouvelles fleurs ont poussé », « mon équipe a trois points de plus »… Elles s’accompagnent d’une unification des procédés de résolution avec la technique opératoire +3 pour cet exemple. L’étape suivante voit la généralisation des techniques opératoires  vers +n .
La construction des concepts (« trois pas de plus, » « trois de plus », »n » de plus) accroit une familiarité avec ces notions, familiarité qui favorise grandement les transferts de connaissances d’une situation connue à une situation problématique nouvelle de ce fait plus facile à traiter.
La montée en abstraction des concepts mathématiques décuple le potentiel d’action et procure un sentiment de puissance et de joie considérables.

La pratique de la recherche libre facilite l’intégration de la nouveauté. Les conduites autodéterminées des chercheurs les préparent à une appropriation plus sereine de nouveaux concepts « de l’extérieur », non directement issus du vécu personnel.
En plus de la motivation intrinsèque* (l’activité est réalisée pour le plaisir et l’intérêt qu’elle procure en elle-même), les motivations extrinsèques  par régulation intégrée (l’activité est volontaire parce que considérée en harmonie avec soi) et par régulation identifiée (l’activité correspond à un objectif fixé soi-même) sont également opérantes.
Les temps de présentations, qui sont des moments d’apprentissage de la disponibilité à autrui,  renforcent la capacité d’écoute et l’ouverture à la culture.
Le processus de la recherche libre mathématique permet l’appropriation d’une culture qui devient constitutive de la personne.

* voir partie 1 « la recherche ?« , chapitre 4 « apprendre/motivation autodéterminée« 

Au fur et à mesure des présentations, de la validation des productions individuelles éprouvées, l’activité mathématique personnelle, collective, celle de l’école et des correspondants enrichit le patrimoine mathématique individuel et commun.
Ce patrimoine est le réceptacle d’un savoir vivant qui se construit. Il en est la mémoire et le témoin d’une culture mathématique qui se crée.