Routine générale 1

Propriétés et relations non-fonctionnelles

Une routine d’un niveau plus général (routine de routines ou méta-routine) se dégage après une analyse des routines spécifiques portant sur les situations qui relèvent des notions de propriétés et des relations non fonctionnelles.
La correspondance scolaire à ses débuts – chacun se présente, veut expliquer à son correspondant qui il est ( (frère(s), sœur(s), possède un animal, …) – offre de nombreuses occasions de se confronter à la notion de propriété. Les situations de la vie courante également (voir partie 2 la ducasse).
Tout événement de vie rapporté (« J’ai eu un chat », « A Noël, j’ai reçu »…) qui trouve un écho dans la classe (« Et moi j’ai un chien », « A Noël, moi j’ai eu.. » ) amène rapidement des préoccupations quant à la récolte et la conservation de toutes ces données.
D’autres situations non-numériques aboutissent à l’étude de propriétés intéressantes (valeurs de critère) qui peuvent aboutir à des classements* (« J’habite rue des Poteries », « Moi c’est rue du Général de Gaule ») ou à des rangements** (« Je suis plus grand que Stéphane »).

* voir la partie 4 : math non numériques/relations/relations d’équivalence

** voir la partie 4 : math non numériques/relations/relations d’ordre

Routine générale 2

Fonctions

L’analyse des recherches libres mathématiques des enfants portant sur les fonctions, les lois, les transformations géométriques, a mis en lumière la présence dans leurs différents déroulements d’un certain nombre d’invariances. Ces constatations témoignent des tâtonnements, des réussites des jeunes chercheurs et suggèrent également que les divers cheminements empruntés pour relever les défis posés passent par certaines « phases » similaires.

Routine générale 2 bis

Conjectures

Les deux routines précédentes ont été synthétisées pour des recherches qui démarrent sans « idée à priori ». Le chercheur  n’a pas vraiment ou pas du tout d’opinion sur le phénomène en question.
Essayer de reproduire l’événement à l’aide de « machines » permet alors de démarrer le travail.
Il arrive cependant assez fréquemment que le chercheur ait déjà, dès le départ, une idée sur ce qui se passe, un début de modèle. Il émet une hypothèse qui lui paraît suffisamment plausible pour s’appuyer dessus.
Les situations du type « l’hypothèse d’Arthur : conjecturer »¹ appartiennent à cette catégorie. Elles sont traitées de manière légèrement différente de celle décrite dans les routines 1 ou 2. La finalité de la recherche n’est plus « Quels sont les outils de représentation performants ? » (routine 1), ni « Comment ça fonctionne ? » (routine 2),  mais « Est-ce que ça fonctionne comme ça ? »

¹ voir la partie 2 « des recherches«