Les deux routines précédentes ont été synthétisées pour des recherches qui démarrent sans « idée à priori ». Le chercheur  n’a pas vraiment ou pas du tout d’opinion sur le phénomène en question.
Essayer de reproduire l’événement à l’aide de « machines » permet alors de démarrer le travail.
Il arrive cependant assez fréquemment que le chercheur ait déjà, dès le départ, une idée sur ce qui se passe, un début de modèle. Il émet une hypothèse qui lui paraît suffisamment plausible pour s’appuyer dessus.
Les situations du type « l’hypothèse d’Arthur : conjecturer »¹ appartiennent à cette catégorie. Elles sont traitées de manière légèrement différente que celle décrite dans les routines 1 ou 2. La finalité de la recherche n’est plus « Quels sont les outils de représentation performants ? » (routine 1), ni « Comment ça fonctionne ? » (routine 2),  mais « Est-ce que ça fonctionne comme ça ? »

¹ voir la partie 2 « des recherches« 

sensibilisation au phénomène

Comme pour les autres recherches, les points de départ trouvent leur source dans un événement de la vie de l’enfant, de la classe, du monde extérieur, un événement particulier. C’est l’hypothèse de résolution énoncée qui retient l’attention.
La préoccupation est donc sa vérification. Comment faire ?

Problématisation

Elle apparaît très tôt :
– D’abord formuler clairement l’hypothèse énoncée qu’il faut valider, la reformuler si nécessaire.
– Définir les objectifs retenus avant sa validation : quels savoirs, quelles compétences opératoires seront nécessaires à sa compréhension ?
– Comment valider ou infirmer l’hypothèse ?

organisation de la recherche

Avant de confirmer (ou d’infirmer) la proposition, il paraît nécessaire de savoir la reproduire, de la faire fonctionner, de récolter des données.

exploration de l’hypothèse

Elle peut puiser dans l’expérience acquise lors d’autres explorations (voir routine 2)

Collecte des données

Elle passe par l’utilisation d’outils de représentations (dessins, schémas, calculs), ou de « machines » qui permettent d’obtenir des résultats.

Exploration des données

L’exploration empirique puis plus rationnelle des données recueillies débouche sur la découverte d’invariants et l’élaboration d’une technique opératoire.

Maîtrise sans machine

La compétence opératoire acquise permet une maîtrise du phénomène

Vérification de l’hypothèse

Lors de la présentation des travaux se pose le problème de la vérité en mathématique.
La vérification pour chaque élément d’un ensemble de travail très grand ou non fini, l’ensemble des nombres naturels par exemple, montre vite ses limites. Elle apparaît comme impossible à ce moment. On ne peut affirmer que l’hypothèse est vraie toujours. Il faut l’admettre. Mais si un jour, on trouve un élément qui l’infirme, alors il faudra dire qu’elle est fausse. Ou alors « s’arranger », c’est à dire qu’elle est vraie sauf pour cet élément. Donc restreindre l’ensemble de définition, celui sur lequel porte la supposition. Mais rien ne dit qu’il n’existe pas un autre contre exemple…
C’est l’occasion d’introduire les notions de quantificateurs universel (∀) et existentiel (∃), de variables et de démonstration ¹.

¹ voir plus loin dans cette partie 3 « didactique » le chapitre 7 « concepts structurants »