Le dispositif de mise en place de la recherche libre mathématique dont l’ambition est une acquisition harmonieuse et efficace des savoirs* doit
–  permettre la construction des concepts mathématiques par l’apprenant lui-même qui devient acteur (processus de dévolution**) et surtout auteur de ses apprentissages ;
– favoriser l’émergence et le maintien d’une motivation forte* (intrinsèque) par la satisfaction des trois besoins psychologiques fondamentaux : le besoin d’autodétermination (ou d’autonomie), le besoin de compétence et le besoin d’appartenance sociale ;
–  conforter le processus de montée en abstraction, des cheminements singuliers et solutions spécifiques jusqu’aux aux procédés de résolutions plus généraux.
L’activité de recherche libre s’inscrit dans une démarche tâtonnante individuelle et collective.
C’est l’enseignant qui instaure la mise en place des conditions propices à l’éclosion de la recherche, à son déroulement, de l’événement initial puisé dans la vie courante aux concepts mathématiques sous-jacents.
C’est lui qui accompagne les phases individuelles ou collectives de métacognition, moments clés de la conceptualisation.
Sa part est prépondérante tout au long du processus
– du démarrage de la recherche qui suppose la capacité de percevoir les concepts mathématiques « cachés » dans les situations de vie – capacité facilitée par une culture mathématique intégrée ;
– à l’accompagnement  attentif mais non intrusif  de l’apprenant qui lui permet le tâtonnement par essais-erreurs pendant tout son cheminement singulier de résolution du problème posé.

* voir partie 1 « la recherche ? » chapitre 4 « apprendre »

** Brousseau, G. « Théorie des situations didactiques « 

Ce processus se décline en deux phases :
– une phase qui suit un balancement alternatif entre des temps de recherche individuelle et des recours auprès de l’enseignant qui accompagne et soutient chaque chercheur ;
– une phase collective, moment de synthèse initié par l’enseignant.

Chaque recherche libre individuelle, des premières représentations à la maitrise, suivant un déroulement singulier, le processus présenté ne peut être considéré comme un modèle : il n’est qu’un développement théorique synthétisé à partir de constantes, d’invariances remarquées dans les recherches en classe : statistiquement, les cheminements ont plus ou moins suivi cette évolution générale, partiellement ou complètement. Une recherche peut dans certains cas s’arrêter aux premières tentatives de reproduction du phénomène, pour être poursuivie et explorée ultérieurement.
Le même concept mathématique peut être revisité à travers une autre situation de vie, apparemment différente, mais présentant une structure équivalente, et donc susceptible d’être traitée de la même façon. Il permet alors un traitement de la nouvelle situation moins tâtonnant, plus économique et rapide pour atteindre le « stade » de la maîtrise de l’événement.

Un événement plus singulier que les autres interpelle. Une action est donc envisagée pour comprendre. Elle peut être collective, dans un groupe plus restreint ou individuelle. Elle peut donner suite à une recherche longue ou alors s’arrêter rapidement. Dans ce cas, l’événement n’est pas traité et est juste archivé (dans le livre de vie de la classe* par exemple).
Par contre, si quelqu’un est « preneur » de la recherche, alors le processus peut s’engager.

Toutes les présentations – nouvelles, textes libres, art, objets rapportés, créations de toutes sortes, moments de vie de classe (réunion coopérative, sorties, éducation physique …), événements à  la maison, dans le village, dans le pays- offrent souvent des possibilités de points de départ des recherches mathématiques, entre autres.*

* voir partie 4 « domaines maths »

Après les premières questions, pistes soulevées à la suite d’un événement qui a attiré l’attention, la recherche s’oriente peu à peu vers une direction privilégiée. Son objet se précise. Dès qu’il est énoncé, la recherche mathématique peut commencer.

Il s’agit de refaire le phénomène avec les moyens du bord soit en le « rejouant », en le dessinant, en le présentant d’une façon ou d’une autre, en utilisant des « machines » matérielles plus performantes. La familiarité avec le phénomène, plus ou moins diffuse au début, se précise  et s’accroit.

L’exploration du phénomène

Une exploration des données collectées de plus en plus systématique, leur organisation, mettent en évidence des relations, des invariances. Leur découverte participe à une compréhension de plus en plus précise du fonctionnement du phénomène.

L’utilisation des invariants découverts permet l’élaboration d’une technique opératoire efficace.
La communication des résultats aux pairs oblige le chercheur à préciser les termes spécifiques, les représentations, les modes d’emploi utilisés.
Ce savoir « faire sans machine » marque l’aboutissement de la recherche : le défi initial est relevé, une démarche de résolution de la situation problématique est trouvée.
Il est réutilisé « sans modération » par le trouveur (et les pairs intéressés), apportant ainsi joie et sentiment de puissance devant le nouveau pouvoir acquis.

Les phases individuelles du processus ne sont pas des moments de pure solitude pour le chercheur.
Celui-ci travaille au milieu de ses pairs auxquels il peut montrer ce qu’il fait, au près desquels il a la possibilité de demander un avis, d’être conforté dans ses choix. C’est un phénomène informel de « diffusion » qui opère alors.
Il consulte également, suivant ses besoins, l’enseignant qui le guide en cas de blocage ou le conforte dans sa démarche.

Quand il se sent prêt, ou quand l’enseignant le juge opportun, le chercheur présente son travail à la classe.
La présentation a lieu soit quand l’objet de la recherche est atteint soit à la fin d’une des « étapes » du processus (savoir reproduire le phénomène avec une machine, tester une technique opératoire,…).
Elle se déroule pendant un moment institutionnalisé (souvent à la fin du temps de mathématique de la journée). Il faut prévoir et inscrire le passage dans l’emploi du temps, lors de la réunion coopérative hebdomadaire, au moment de l’organisation du travail de la semaine à venir.
L’auteur est le maître d’œuvre de ce moment : il peut être très directif pour transmettre son travail, ou alors plus pédagogique et prévoir une fiche de suivi de la conférence (plan, exercices proposés, résumé,…) pour que les auditeurs soient actifs et intéressés.
Cette  phase collective de présentation permet la communication des découvertes de chacun et constitue un temps très important d’apport et de partage de connaissances, de coopération, de confrontation, de réflexion et de métacognition à la fois sur le contenu, mais aussi sur la forme et la qualité de la prestation délivrée.
S’ils ne sont pas jugés  satisfaisants, les résultats exposés doivent être retravaillés en vue d’une présentation ultérieure. S’ils sont validés, les nouveaux savoirs enrichissent le patrimoine mathématique de la classe.
Il est nécessaire alors de les conserver analogiquement sous forme de fiches, panneaux, dans le livre de vie… ou numériquement dans le site de la classe ou son intranet.