La « part du maître » est cruciale.
Il est important que celui-ci puisse posséder une compréhension mathématique réactive : la coupe remise au vainqueur d’une épreuve sportive évoque instantanément le concept de symétrie, une collection de poupées russes ou une flûte de pan celui d’homothétie…toutes ces situations de départ étant  favorables à la découverte et à la construction de savoirs dans le domaine de la géométrie, mais aussi dans celui des lois, de leurs propriétés, de leur composition, des mesures, des nombres, des rapports de nombres, des vecteurs, des structures (groupes)…
C’est cette familiarité avec les situations mathématiques dans la vie qui chasse le sentiment d’insécurité de l’enseignant et lui apporte la sérénité nécessaire à une écoute active et à une attention maximale.
D’autre part, il est légitime de se demander si se préoccuper de la commutativité ou étudier des homothéties avec de jeunes enfants présente un intérêt quelconque. N’est-ce pas hors programme, ou une perte de temps ? En quoi cela peut-il être utile ?
Un exemple : verser le café puis le lait donne-t-il le même résultat que verser le lait puis le café ? Bizarre comme préoccupation …. Mais pas si saugrenue que cela parce que apparue dans certaines recherches où se posait le problème de l’ordre d’effectuation de plusieurs actions : cet ordre influe-t-il sur la résultante finale ?
Ce sont les propriétés de commutativité a*b = b*a ? et d’associativité  (a*b)*c = a * (b *c) ? qui deviennent cruciales quand il s’agit de gérer l’effectuation de deux ou plusieurs actions consécutives.
Cette préoccupation se manifeste à nouveau dans le monde numérique : 4 + 3 = 3 + 4 ?
8 – 3 = 3 – 8 ?  mais aussi 28 + 32 = 32 + 28,  156 + 247 = 247 + 156 ? La recherche de ces réponses oblige à un nombre très élevé de calculs, calculs motivés et nécessaires parce que s’inscrivant naturellement dans la poursuite de la recherche.

Posséder une vision d’ensemble de différents domaines mathématiques (math numérique, math non numérique, géométries, structures,…), percevoir les connexions qui les relient contribuent à cette familiarité évoquée précédemment.

La part du maître apparaît comme majeure lors des moments de la gestion éclairée des présentations des recherches ainsi que pendant les phases métamathématiques de classements, de généralisations qui prolongent le processus de conceptualisation.

Entrer dans une recherche mathématique, c’est s’engager dans un processus singulier, complexe, non balisé* et sur un temps différent qui laisse la possibilité du tâtonnement, des essais et des erreurs.
Une autre vision du programme de l’école, non linéaire, s’impose.

* Les parcours sont nombreux et variés. Le cheminement n’est pas programmé à l’avance, mais certaines invariances existent cependant.

Comment avons-nous procédé ?
Cette technique pédagogique était (1972) peu répandue et il restait beaucoup de choses à défricher.
Il a fallu à la fois se lancer en classe en abandonnant progressivement le modèle traditionnel transmissif, revisiter nos connaissances mathématiques, en acquérir de nouvelles.
Très vite, il nous est apparu qu’il fallait absolument éviter l’isolement et qu’échanger constamment avec les quelques copains qui se lançaient eux aussi dans l’aventure de la recherche libre mathématique était essentiel. Partager les tentatives expérimentées en classe, les premières recherches d’enfants même modestes, analyser les difficultés rencontrées, s’inspirer des réussites réalisées, combler peu à peu l’étendue de notre ignorance, discuter tout le temps, tout cela nous a permis de (re)construire la culture mathématique  nécessaire  et d’acquérir peu à peu plus d’assurance dans notre pratique pédagogique quotidienne.

   Nous avons beaucoup lu la littérature mathématique de cette époque (années 1970) anglo-saxonne (Dienes, Adler, Fletcher,…)* et française (Revuz, Lichnerowich, les maths modernes) uniquement  pour acquérir les concepts mathématiques qui nous manquaient (relations, structures, géométries de transformation…)  sans toutefois oublier ce qui nous importait : une autre acquisition des mathématiques par les enfants.

    Nous aussi avions besoin d’acquérir des savoirs math autrement. Nous avons mis en place une méthode très satisfaisante basée sur la production d’outils mathématiques utilisables par un enfant**.
Cela se faisait lors de stages internes que nous organisions pendant les vacances scolaires, avec l’aide de notre ami Hugues Dequidt, prof de math qui partageait nos convictions ***.

* nous n’avons pas pris en compte les propositions pédagogiques de ces auteurs.
** ces outils programmés n’étaient pas sensés être utilisés en classe (sauf cas particuliers), la recherche libre mathématique suffisait.
*** tout ceci est retracé dans l’ouvrage à paraître (titre provisoire) ‘Nouveaux développements de la pédagogie Freinet » (Jacquet-Francillon F., Marciniak M., Thorel D. et Thorel M.).

 Accéder à cette culture mathématique nécessaire à la fréquentation de situations puisées dans les événements de la vie de tous les jours et importante pour assumer ensuite le bon déroulement du processus de recherche des enfants, n’est pas aisé. « Expliquer » la démarche, les tâtonnements que nous avons suivis  l’est encore moins. Certaines constantes apparues apportent néanmoins des ressources pour aborder toute cette complexité.

C’est ce qui est tenté  tout au long de ce site, mais  également dans les Références pour une Méthode Naturelle de mathématiques * (Laboratoire de Recherche Coopérative de l’ICEM) et dans l’ouvrage à paraître « Nouveaux développements … » cité ci-dessus..

Peu à peu s’est constitué un corpus de situations de vie associées aux notions mathématiques sous-jacentes, celles qui ont été abordées dans les recherches mais aussi celles qui auraient pu l’être. Chaque situation de départ s’est ainsi enrichie d’un arrière-plan théorique potentiel, sorte de réserve conceptuelle disponible pour l’enseignant.
Certaines idées d’ordre très général (concepts structurants abordés plus loin dans cette présentation) apparaissent comme des outils utiles pour l’intégration de cette culture mathématique.

Une culture math théorique minimale est donc nécessaire au décryptage des concepts mathématiques dans des situations de vie : il s’agit de percevoir ce qui ne se voit pas, ce qui est caché derrière ce qui est vu.
Elle est aussi essentielle pour un accompagnement des jeunes chercheurs qui ne les dépossède pas de leur projet.