hétérogénéité et invariance

des balises

L’inconnu provoque souvent un sentiment d’inconfort voire même d’anxiété. Comment aborder ce qui est neuf ?
L’individu, qu’il soit enseignant devant initier et accompagner une recherche libre  sur un sujet qui ne lui est pas forcément familier, ou enfant face à une situation problématique  à explorer, a naturellement besoin d’éléments connus sur lesquels s’appuyer.
Chaque recherche apparaît comme un processus singulier. Pour démarrer, les enfants ressentent le besoin d’être aidé, de se reposer sur des « balises »: des questions auxquelles répondre, des actions qu’ils peuvent entreprendre.

Cette singularité plurielle conduit les enseignants à chercher des invariances dans les productions et démarches des jeunes chercheurs.
« Les recherches maths de Bermicourt , celles sur les fonctions numériques par exemple, répondaient à des questions précises^* qui apparaissaient de façon récurrente, et constituaient donc des étapes nécessaires pour les élèves. Ceux-ci se demandaient :
– de quoi est-ce que je parle?
Il fallait donc préciser l’ensemble de définition de la fonction ; 
-comment ça fonctionne ?
Il s’agissait d’établir le graphe, c’est-à-dire l’ensemble de tous les couples qui vérifient la fonction : par exemple 0–>0, 1–>3, 2–>6, etc. ;
– à quoi ça ressemble ?
Il convenait de représenter le phénomène observé, par exemple tracer la courbe.^**

* ces questions sont apparues auparavant dans d’autres recherches. Elles ont été validées pour leur efficacité comme procédures d’action efficaces lors des présentations à la classe . Elles sont donc utilisées si nécessaire (ici situation de fonction numérique)
 ** voir l’ouvrage à paraître (titre provisoire) ‘Nouveaux développements de la pédagogie Freinet » (Jacquet-Francillon F., Marciniak M., Thorel D. et Thorel M.).

des invariances

Bien qu’étant très diverses, un même sujet pouvant être exploré différemment selon les individus, ces recherches font apparaître des invariances dans leur déroulement même ainsi que dans les processus d’abstraction et d’élaboration des concepts.

deux sources

La constatation d’invariants dans les démarches suivies, dans les solutions de résolution choisies, résulte à la fois des tâtonnements des enfants au cours du déroulement des recherches en classe et des analyses faites à postériori par les enseignants eux-mêmes.

L’activité recherche des enfants

Pour relever le défi posé par la problématisation des situations, c’est la recherche tâtonnée de représentations du réel comme processus de résolution qui est adoptée par les enfants. Ainsi, dans la recherche le bateau^*, de nombreuses représentations de la situation sont testées, rejetées ou conservées suivant leur pertinence par rapport à l’objet de la recherche : un élément (un enfant) sera représenté par l’enfant lui-même, en chair et en os pour au final être symbolisé par une simple croix.
Chaque nouvelle représentation adoptée révèle un changement de niveau d’abstraction.
C’est avec cette montée naturelle en abstraction ^** accompagnée par  la conscience d’abstraire que la culture mathématique se construit.

*  voir partie 2 : « des recherches »
**  voir précédemment dans cette partie 3 :  « abstraction »

Les analyses/synthèses  faites par les enseignants

L’examen* du déroulement de nombreuses recherches d’enfants, de leur démarrage, des cheminements choisis, des choix de résolution opérés, des réussites obtenues ont amené des enseignants praticiens-chercheurs à dégager certaines constantes dans la grande diversité des productions élaborées.

*  l’historique de cette démarche est abordé dans l’ouvrage à paraître (titre provisoire) « Nouveaux développements de la pédagogie Freinet » cité ci-dessus.

premières constatations

Une activité métamathématique

Au cours de son processus tâtonnant, le jeune chercheur est contraint à une réflexion métamathématique* fréquente sur sa propre activité : il doit faire des  choix, les tester, les évaluer, comprendre les erreurs. Pour avancer, il peut puiser dans le patrimoine mathématique de la classe et trouver des similitudes avec d’autres choix qui ont réussi.

Cette réflexion sur les démarches choisies s’opère également au moment des présentations à la classe d’une recherche mathématique : des questions sont posées par le groupe : il faut être capable d’expliquer ses choix, d’argumenter, mais aussi de renoncer à certains au profite d’autres propositions avancées.
Pour cela, des rapprochements avec d’autres cheminements sont faits, des similitudes remarquées. La recherche elle-même devient l’objet d’une nouvelle réflexion qui ne porte plus sur les cheminements choisis, mais sur le contenu mathématique abordé : des familles de situations similaires apparaissent, avec la nécessité d’éclaircir et de nommer ce qui les relie^**.

^* l’aspect métacognitif  est abordé dans  la partie 1  »  la recherche ? « .
^** voir dans la partie 4 « domaines math/maths non numériques/relations » ce qui concerne l’étude des relations d’équivalence.

Un double constat

L’analyse des quelques recherches présentées dans l’onglet « des recherches », amène, malgré la grande diversité des situations de départ et des recherches libres qui en ont résulté, à un double constat homogénéisant, que ce soit dans le domaine numérique ou non-numérique :
   1- Un début de classification des situations/événements suivant les concepts mathématiques sous-jacents s’impose :
– les situations (la ducasse) qui concrétisent les notions de propriétés, de relations (non fonctionnelles) dans lesquelles il s’agit de collecter, conserver, organiser des données et trouver des outils performants de représentation (tableaux, diagrammes, …) ;
– les situations fonctionnelles (les pas du facteurs, le drôle de papa, l’hypothèse d’Arthur) qui amènent à la construction de techniques opératoires (x 4, savoir faire une symétrie axiale, trouver la moitié). Toutes ces notions sont développées dans  la partie 4 domaines math.
   2- Le constat de certaines ressemblances, régularités, invariances relevées dans le processus de recherche : un point de départ dans la vie, la problématisation de la situation, son exploration, l’organisation des données recueillies…

premières comparaisons

Au cours de leurs recherches ou lors des présentations à la classe, les enfants voient apparaitre des ressemblances imprévues entre événements apparemment différents : l’histoire du bateau, c’est comme faire des groupes de deux au sport ou au jeu de cheval. Pour savoir si tout le monde peut participer, il faut faire des paquets de deux et voir s’il reste quelqu’un tout seul ou pas.
Pour savoir combien Bertrand fait de pas quand le facteur en fait 5, ou combien de biscuits il y a dans 5 boites de 4 biscuits, on doit dessiner des paquets de 4…

des constantes dans le processus de recherche

Au début, un événement…

Un point de départ …

… à partir d’un étonnement, d’une interrogation, un événement particulier provenant de situations réelles de vie ou de créations abstraites, qui se distingue dans l’ensemble des informations véhiculées par tous les événements présentés.

– pour la recherche « le bateau », c’est un dimanche dans un parc d’attraction ;
– pour « la marche des facteurs », c’est le père de Sandrine, facteur, qui a participé à l’événement à St Pol/Ternoise, la ville voisine ;
– pour « la ducasse », c’est un événement communal très important pour les enfants ;
– pour « le drôle de papa », c’est la présentation d’un texte d’enfant de 6 ans à peine ;
– pour « l’hypothèse d’Arthur », c’est sa solution inattendue proposée pour régler un problème encore en cours de résolution.

Cet événement attire l’attention, il a un écho inhabituel dans la classe. Manifestement, on a besoin de s’y attarder un peu plus parce qu’on est surpris, étonné, ou désireux d’en savoir plus. Il se passe quelque chose,il faut s’y arrêter et prendre un peu plus de temps. Un début de discussion, rapide, s’engage entre le groupe classe et le « porteur » de l’événement qui doit répondre aux questionnements plus nombreux que d’habitude.

– pour la recherche « le bateau », c’est le plaisir de faire du bateau affiché par l’enfant qui raconte, et qui très vite suscite l’envie des autres d’en faire autant ;
– pour « la marche des facteurs », c’est l’étonnement devant la grandeur des pas du facteur montrés par Sandrine ;
– pour « la ducasse « , tout le monde en a parlé aux « nouvelles », tout le monde veut dire à quels stands il est allé, chacun veut faire partager « sa ducasse » ;
– pour « le drôle de papa », on a bien envie d’inventer d’autres drôles de papas, de papillons,… ;
– pour « l’hypothèse d’Arthur », c’est le désir de commencer l’enquête pour savoir si Arthur a raison.

une problématisation

Dans un premier temps, le point de départ suscite des questions, des pistes, des propositions qui partent un peu dans tous les sens, puis une préoccupation plus précise se dégage : pouvoir faire un tour en bateau, s’intéresser au nombre de pas de Bertrand, dessiner des objets symétriques, rassembler tous les vécus personnels à la ducasse, etc. Cette phase tâtonnante, « sauvage », permet une première emprise sur l’événement.

Dans un deuxième temps, il s’agit de définir plus nettement l’objet de la recherche. Cet objet peut se préciser lentement et se dégager progressivement des premières tentatives tâtonnantes (le drôle de papa), ou être énoncé assez rapidement à la suite de l’émergence du point de départ de la recherche (la marche des facteurs, la ducasse, l’hypothèse d’Arthur).

– pour la recherche « le bateau », une question retient l’attention : « Tout le monde peut-il partir dans un bateau à deux places ? »
– pour « la marche des facteurs », c’est de savoir dire le nombre de pas de Bertrand par rapport à ceux du facteur (même pour 100 pas !) ;
– pour « la ducasse », c’est d’être capable d’élaborer un document qui raconte tout aux correspondants ;
– pour « le drôle de papa », c’est de produire fidèlement des images symétriques ;
– pour « l’hypothèse d’Arthur », c’est d’organiser la recherche pour pouvoir vérifier l’hypothèse avancée.

premières représentations

des données à collecter…

par une reproduction de l’événement avec « machine »

Il s’agit ensuite, dans le cas de situations relevant de fonctions ou de transformations géométriques, de trouver des moyens de reproduire la situation de façon de plus en plus efficace pour se familiariser avec elle et obtenir beaucoup de données utiles qui éclairent son fonctionnement. Le chercheur doit utiliser une « machine » (technique opératoire matérielle) plus performante que la simple reproduction avec les moyens du bord. Même s’il n’en comprend pas les rouages internes, il peut malgré tout produire des résultats nombreux et plus fiables.
La recherche « le drôle de papa » montre les tâtonnements de Mickaël pour se familiariser avec  le fonctionnement de la symétrie et ses premières tentatives de réponses au défi posé (produire une image symétrique irréprochable).
Les techniques choisies, découvertes ou proposées, sont le dessin « à main levée », les « machines » matérielles : pliage/perforations, pliage/découpage. D’autres machines auraient pu faire l’affaire : la vitre, le papier calque, le miroir, une machine traçante…^*

^*pour plus de « machines », voir  le livret de présentation du fichier Géométrie de Transformation, cycle II (PEMF) dans « Annexes ».

 par une recherche de représentations efficaces

Dans les situations, par exemple, qui relèvent des notions de propriétés, de relations^* (« la ducasse« ), le recueil des données amène à la constitution d’inventaires, de listes (Qui vérifie telle propriété ? Qui est en relation avec tel élément ?..).
La nécessité de leur conservation impose la recherche de représentations du réel appropriées (Comment représenter les éléments, les propriétés concernées, les relations en jeu ?)

^*pour plus d’informations, voir  domaines math/math non-numérique

… et à explorer

Les productions « à la main » de Michaël (recherche « drôle de papa ») présentées à la classe amènent une première observation d’importance : la présence de « deux côtés » et donc d’un axe de symétrie. Cette découverte s’avère très fructueuse. Elle dynamise la recherche, ouvre des perspectives et engendre de nouveaux obstacles, donc de nouveaux essais qui entrainent de nouvelles découvertes.

Il commence à comprendre comment « ça fonctionne », découvre que certaines choses changent, d’autres non.
Deux autres invariants de la transformation * se conscientisent :
– l’égalité des distances par rapport à l’axe des points objet et image, l’équidistance par rapport à l’axe ;
– la perpendicularité de la ligne entre point objet et point image avec l’axe de symétrie.
Il s’agit ensuite d’en maîtriser l’utilisation :
– savoir  reconnaître une figure, un objet, un animal symétrique, en déterminer l’axe (ou les axes) de symétrie ;
– savoir reporter des distances ;
– savoir tracer des perpendiculaires, vérifier la perpendicularité …

Pour « le bateau », c’est la recherche de représentations de plus en plus appropriées qui impose le nombre comme idée pertinente pour la résolution du problème. Pour « le facteur », c’est l’exploration verticale¹ de la fonction 4 pour 1 (x4) et la découverte de régularités.

^* voir domaines math/présentation/explorations

Mickaël expérimente un savoir-faire opérationnel : la connaissance des  invariants découverts : l’axe de symétrie, l’équidistance et la perpendicularité, lui donne la possibilité de s’affranchir des machines matérielles et de proclamer « Je sais faire une symétrie » (axiale). Une maîtrise experte de cette technique opératoire sur papier blanc (non quadrillé) demande encore beaucoup de pratique. Mais l’essentiel, l’essence de cette transformation géométrique, est là, découvert. Et il n’a encore que 7 ans …

une exploration de données particulière

Pour « la ducasse« , la situation  est un peu différente. Les données collectées et conservées concernent des propriétés (être allé aux autos tamponnantes, au petit manège, …,) ou des relations (entre un enfant et toutes les attractions, entre tous les enfants et une attraction, ou entre tous les enfants et toutes les attractions) et la nécessité de les organiser apparaît comme prépondérante. ^*

La découverte et l’utilisation des tableaux, diagrammes, bandes, découverts pour représenter ces situations qui ne relèvent pas du domaine des fonctions conduisent à l’élaboration de modes d’emploi, de savoirs qui répondent aux défis initiaux.
L’invariant majeur est ici la prise de conscience que la démarche de résolution passe par l’obligation de construire des représentations de plus en plus performantes.

^* voir domaines math/math non-numérique

vers la maitrise du phénomène

une technique opératoire

Il s’agit maintenant d’être capable de reproduire le phénomène, d’utiliser et de maîtriser la technique opératoire élaborée à partir des invariants découverts, d’aller vers l’expertise. De nombreux essais sont nécessaires.

recherche « le bateau » : la prise de décision (reste 0 ou 1) en situation de modulo 2 ;
recherche « la marche des facteurs » : création d’une table et de son utilisation (technique opératoire x4) ;
recherche « la ducasse » : construction et utilisation à bon escient d’un diagramme saggittal et d’un tableau cartésien ;
recherche « le drôle de papa » : savoir produire le symétrique d’un objet en symétrie axiale avec une règle et une équerre ;
recherche « l’hypothèse d’Arthur » : savoir calculer les moitiés.

la communication des travaux

Pour communiquer les travaux, il est également impératif  de préparer l’exposé, de préciser le mode d’emploi, les termes spécifiques, de choisir les représentations utiles, d’en prévoir des traces (sous forme papier, numérique,…)
Le chercheur est alors prêt à la présentation de ses résultats au groupe ou à la classe. Cette dimension de communication est une composante important pour la maîtrise du phénomène. Elle prolonge son activité de métacognition présente tout au long de la recherche.

conclusion

Ces invariances relevées dans les recherches libres témoignent des stratégies de résolution et de construction de concepts qui ont réussi.
Elles ouvrent le champ des possibles pour l’enseignant dans son accompagnement des jeunes chercheurs.
Leur synthèse aboutit à la construction théorique de « routines », le mot routine étant pris dans le sens  de « Connaissance, habileté acquise par l’expérience, la pratique plus que par l’enseignement »*, plutôt que celui, péjoratif, de « Habitude de penser ou d’agir selon des schémas invariables, en repoussant à priori toute idée de nouveauté et de progrès »*

* cf Ortolang, Centre National de Ressources Textuelles et Lexicales du CRNS.