La technique de la recherche libre mathématique permet une  acquisition harmonieuse des savoirs* par la construction des concepts mathématiques par l’apprenant lui-même.
Elle émane de la méthode naturelle d’apprentissage décrite par Célestin Freinet après la première guerre mondiale.
En résonance manifeste avec la Théorie de l’Autodétermination*, cette démarche implique fortement l’individu.
Le concept de dévolution** initie la démarche de la recherche libre mathématique.
C’est l’enseignant qui favorise la mise en place des conditions propices à son éclosion, à son déroulement, de l’événement initial puisé dans la vie courante aux concepts mathématiques sous-jacents***.

* voir partie 1 « la recherche ? »

**« La dévolution , ou le processus de dévolution, désigne l’ensemble des actions de l’enseignant visant à rendre l’élève responsable de la résolution d’un problème ou d’une question en suspens. » Reuter Y.

*** voir partie 1 « la recherche ?/un milieu favorable/conditions »

une construction des savoirs mathématiques

La démarche se situe dans une perspective constructiviste et socioconstructiviste*. Elle favorise un environnement qui permet à l’apprenant de participer activement à la construction des savoirs. L’appropriation d’une notion math passe par la déconstruction des représentations mentales installées, puis par leur reconfiguration.
Cette démarche, à la fois individuelle et collective, s’inscrit dans le processus naturel du tâtonnement expérimental**. C’est par ce processus d’apprentissage, par essais-erreurs, dans un environnement coopératif (pairs, enseignant) que l’enfant construit des connaissances puis des savoirs plus élaborés.

* voir partie 1 « la recherche ?« , chapitre 4 « apprendre » et dans cette partie 3, chapitre 6 « abstraction« , dans la partie 2 « des recherches  » et dans la 3 « comment ?« 
** voir partie 1 « la recherche ?« , chapitre 5 « la méthode naturelle »

une prise en compte des motivations de la personne

Cette démarche, en résonance marquante avec la théorie psychologique de l’Autodétermination*, implique fortement l’individu.

des besoins psychologiques fondamentaux

Elle vise à satisfaire les trois besoins psychologiques fondamentaux à la source d’une motivation forte (intrinsèque) :
– le besoin d’autodétermination (ou d’autonomie)
L’individu a besoin de se percevoir comme la principale cause de ses comportements, d’en être à l’origine en adéquation avec lui-même.
– le besoin de compétence
L’individu a besoin de ressentir le sentiment d’efficacité sur son environnement qui stimule la curiosité et l’envie de relever des défis.
– le besoin d’appartenance sociale
L’individu a besoin de se sentir en relation avec autrui, d’appartenir à un groupe qui peut lui renvoyer des signes de sympathie, d’estime, de compréhension et de reconnaissance.

des comportements autodéterminés

Le degré de satisfaction de ces trois besoins contribue à faire émerger différents types de motivation avec des conséquences cognitives (attention, mémoire…), affectives (plaisir, intérêt, satisfaction…) et comportementales (engagement, persistance dans l’action…).
Les comportements autodéterminés, quand l’activité est réalisée par choix et pour elle-même, ont des conséquences très favorables sur les apprentissages, mais aussi sur le bien-être et la santé.

* voir partie 1 « la recherche ?« , chapitre 4 « apprendre« .

un cheminement singulier

Si les processus cognitifs semblent universels, l’exploration des données et leur traitement varient d’un individu à un autre.

au départ, une situation problématisée

  Un événement de vie qui suscite l’intérêt, l’étonnement puis la curiosité, l’interrogation, le besoin de comprendre, ou bien l’aspect d’une situation jugé prometteur qui est pointé par l’enseignant, ou encore une création purement abstraite sortie de l’imagination d’un enfant, déclenchent certains comportements. Ceux-ci sont extrêmement variés : tâtonnements « sauvages » sans ligne conductrice, essais quelquefois vite abandonnés parce que pas concluants, découragements précoces, renoncements rapides, choix d’autres sujets, mais aussi tentatives modestes, quelquefois prometteuses, premiers petits succès, premières satisfactions, premières ébauches de stratégies qui incitent à poursuivre.

  Un obstacle à surmonter, une interrogation, un défi à relever initient une investigation qui doit conduire à la formulation précise de la question à éclaircir.

La problématisation de l’événement aboutit ainsi au choix de l’objet de la recherche. Il faut dès lors construire une démarche de résolution du problème posé. C’est la recherche de représentations appropriées et de plus en plus efficaces qui est privilégiée.

choix d’une démarche de résolution : les représentations

produire des représentations

Pour une première appropriation, il s’agit au début d’essayer de reproduire l’événement (une situation, un objet,…) avec « les moyens du bord », de le représenter par écrit (dessin, schéma, …), de rejouer la situation, de le mettre en scène.
Les représentations des avancées successives de la recherche matérialisent la pensée et l’activité du chercheur.
Elles servent de support dans la démarche de résolution qu’il construit.

symboliser et abstraire

  Les représentations, symbolisations et abstractions sont des notions indissociablement liées.
La recherche de représentations plus performantes, plus pertinentes par rapport à l’objet de recherche initial s’accompagne d’une montée en abstraction.
Le recours à la symbolisation des représentations (éléments, propriétés, relations…) s’avère nécessaire et efficace pour l’avancée et la communication des découvertes. Elle conduit au monde des signes (lettres, nombres, figures…), à l’émergence d’un langage nouveau.
Une analyse continue de la démarche en cours est faite par le chercheur. La conscience d’abstraire (la perception de ce qui est écarté, de ce qui est gardé) est primordiale pour installer la permanence du sens dans ce qui se fait, qui se déroule, dans la construction de concepts mathématiques.

vers une procédure experte de résolution de la situation singulière

La découverte d’une technique opératoire efficiente provoque le besoin intense de la réutiliser de nombreuses fois, de s’entraîner pour en acquérir la maîtrise et ressentir l’ampleur du nouveau pouvoir conquis.
Le désir de la partager de façon intelligible avec les autres oblige à un travail préparatoire de  communication.

communication des travaux

Le processus de recherche passe d’une phase individuelle (avec échanges possibles avec des pairs) à une communication au et avec le groupe.

présentations des recherches

La présentation de la recherche (soit en phase intermédiaire ou terminée) concerne et la démarche suivie et les résultats obtenus.
La communication aux pairs sur le parcours emprunté suppose un travail d’analyse préalable de la production par le chercheur, soit pendant la recherche avec l’adulte, soit à une étape vécue comme importante, soit à la fin. Il est préférable d’être clair au moment de l’exposé.
Une communication réussie nécessite également des explications sur le langage utilisé : les symboles choisis ou créés (noms donnés, titres, signes, images, schémas, tableaux…), les règles d’écriture, d’utilisation adoptées.
La technique opératoire de résolution découverte, son mode d’emploi doivent pouvoir être énoncés clairement pour une réappropriation et utilisation ultérieure possibles .
Une synthèse de la recherche (situation de départ, son objet, sa résolution, …) peut être conservée dans une fiche descriptive pour le patrimoine de la classe, pour l’archivage.

coopération, confrontations

  La présentation donne lieu à un double échange : l’apport de nouvelles découvertes aux autres, et en retour, la contribution du groupe avec le partage des connaissances individuelles et du savoir collectif.
Des aménagements d’éléments problématiques, des propositions d’actions peuvent être proposés et renvoyer le présentateur à sa recherche.
La présentation peut être un moment de confrontation qui oblige l’orateur à justifier ses dires.

validation des travaux

Elle se produit à la fin de la (des) présentation(s). Le groupe donne son avis et l’adulte entérine (ou pas). Les résultats (démarche, forme de résolution, connaissance…) validés peuvent être réutilisés si le besoin s’en fait sentir. Ile entrent dans le patrimoine de la classe.

conservation des travaux

Elle concerne à la fois le fond et la forme. Il s’agit de garder la mémoire du processus de construction : les événements, les situations de départ, les stratégies, les abandons, les réussites, mais aussi de conserver les solutions trouvées, les techniques opératoires performantes, les connaissances construites.
Elle peut prendre l’aspect d’un document matériel (affiche, fiche,..) ou immatériel, en entrant dans la culture orale de la classe.

la présentation, un moment clé

La présentation est un moment de valorisation des individus. Le conférencier est écouté par un public respectueux,  mais pas complaisant. L’adulte prend également toute sa part.
Elle favorise l’apprentissage de la disponibilité à autrui, de l’écoute (des pairs, de l’adulte).

La présentation des travaux apparaît comme un moment important de décontextualisation. L’intelligence collective, les perceptions individuelles permettent de faire apparaitre les liens avec d’autres recherches apparemment différentes.

Tout moment de présentation en classe, qu’il s’agisse d’un texte libre, d’une production artistique, scientifique ou mathématique, contribue à accroitre la disponibilité de chaque enfant à la culture.

la publication

La publication du résumé des travaux, que ce soit sur papier (affichage en classe, panneau d’expo, journal scolaire, correspondance) ou sur support numérique (site internet, site intranet) marque la fin de la recherche : le défi de départ (l’objet de la recherche) a été relevé, la résolution du problème est maîtrisée.
La publication oblige l’auteur à une analyse et une synthèse du travail effectué, à une vision « surplombante » du plus grand intérêt.

de la solution spécifique au concept

  Une réflexion métamathématique
– sur les événements retenus, les situations traitées ;
– sur les  processus de résolution suivis ;
– sur les nouveaux savoirs (concepts « objets »)* produits
se développe tout au long des recherches (et de leur présentation).
Elle est inhérente au processus lui-même :  l’exploration tâtonnante de l’objet de la recherche oblige l’investigateur à un questionnement continu et à une auto-évaluation constante des choix qu’il opère.

C’est essentiellement lors des présentations ou des moments collectifs de synthèse menés par l’enseignant que des classifications qui s’ébauchent, des généralisations qui se développent mènent à la découverte de démarches de traitements plus générales, de concepts plus larges et engendrent une nouvelle élévation dans les niveaux d’abstraction.

* voir le travail de J Bruner dans la partie 1, chapitre 4 « apprendre »

classifications

analyses

  La réflexion sur la démarche singulière suivie pour la résolution de telle situation se prolonge par la comparaison avec d’autres démarches singulières pour d’autres situations, démarches perçues comme voisines. Des variances et invariances sont observées, des résolutions similaires pointées.

classements

  La constatation de ressemblances, d’équivalences* portant sur les événements/situations de départ, sur les démarches, sur les processus de résolution, amènent à la création de classes d’équivalence, avec attribution d’un nom et d’un représentant de classe.
Le fameux « c’est comme » amène à envisager des événements de départ** (le bateau, se ranger à la fin de la récréation, le jeu du cheval, la lumière, le 1/2 tour,…) à priori différents, comme appartenant tous à une même « famille » qui renvoie à la notion commune de « par deux ».
La résolution 1 de l’événement 1 (le bateau : tout le monde peut-il partir ?), la résolution 2 de l’événement 2 (se ranger : est-ce que tous les enfants seront rangés par deux ?),  la résolution 3 de l’événement 3 (jeu de cheval : est-ce que tout le monde pourra jouer ?), … présentent des ressemblances : il faut s’intéresser au reste : 1 ou 0 à la fin du groupement par deux.

* voir partie 4 « domaines math, math non numérique, relations »
** ces situations sont abordées dans la partie 4 « domaines math, fonctions »

Si une nouvelle situation problématique se présente (par exemple « le bracelet de deux couleurs*), je ne suis pas obligé de refaire la recherche en entier. Cette situation ressemble à celles de la famille « le bateau » avec l’idée du groupement par deux, et je peux donc m’en inspirer pour trouver une solution plus efficacement.

* l’invention de bracelets de deux couleurs (bleu-rouge-bleu-rouge… sur bandes de papier,  ou avec des perles) conduit à la question suivante : « Tous les bracelets créés peuvent-ils se refermer ? (c’est à dire respectent la suite régulière bleu-rouge) ». Certes, pour les bracelets fabriqués, il suffit de les refermer et vérifier. C’est la couleur de la dernière perle qui est importante pour la décision finale. Mais comment répondre quand le bracelet imaginé compte 45 , 100 perles ou plus ? Cela devient fastidieux, ou même impossible.
voir la partie 4, « domaines math, math non numérique, fonctions »

généralisations

Les classifications de situations équivalentes, de procédés de résolution voisins permettent d’envisager certaines généralisations utiles et redoutablement efficaces.

unification de situations, d’événements « points de départ »

Des situations, événements ayant des procédures de résolution similaires peuvent être rassemblés dans une famille : la famille modulo 2.
Ils sont examinés de la même façon.
Toute situation problématique reconnue comme faisant partie de cette famille peut être traitée avec le mode de résolution qui y est attaché.

La recherche « la marche des facteurs »* (1 pas de facteur/4 pas pour Bertrand) provoque chez les enfants plus âgés et expérimentés l’évocation d’une autre recherche sur la grève des trains (1 train  sur 4 part). Il s’avère qu’ils ont en tête une classe de situations équivalentes (pour 1, c’est 4 : la famille 4 pour 1), la démarche pour les traiter ainsi que la technique opératoire associée. De nombreuses recherches ** (la feuille coupée en quatre, 4 bouteilles dans un pack, un emballage 4 biscuits, …) alimentent cette classe de situations.

* voir partie 2 « la marche des facteurs »
** voir partie 4, domaines math,  fonctions numériques

généralisation des procédés de résolution

Les résolutions r1, r2, r3 …, de cette famille « le bateau » peuvent être rapportées à un type de résolution R et son mode d’emploi : s’intéresser aux éléments concernés (enfants, couleurs,…), les grouper par deux, considérer le reste (0 ou 1) qui apporte la décision finale (les enfants peuvent tous partir ou pas, ce collier peut se refermer ou pas, etc.).
Le concept de reste dans le groupement par deux apporte un gain de temps appréciable.
Un niveau d’abstraction supplémentaire est franchi quand on quitte les actions concrètes de groupements et on ne s’intéresse plus, pour la résolution, qu’au nombre d’éléments en jeu et à leur parité (pair, c’est oui, impair c’est non).

  Quand la situation singulière la marche des facteurs a été identifiée par les plus expérimentés comme appartenant à la famille de situations 4 pour 1, la démarche (1, c’est 4, 2 c’est 8, 3 c’est …)  ou mieux la technique opératoire de résolution (table x4) qui y sont associées ont été utilisées.

création de démarches générales de traitement

A ce niveau d’abstraction, les classes d’équivalence de situations problématiques (modulo 2, 4 pour 1,…) sont dotées d’une technique opératoire de résolution type.
Un autre palier dans l’élévation dans les niveaux d’abstraction est franchi avec une nouvelle généralisation, celle des classes d’équivalence elles-mêmes : le modulo 2, le modulo 3, le modulo n, peuvent être regroupés dans un domaine plus vaste : les modulos. De même, les classes de situations x4, x3, xn sont réunies dans le champ des fonctions multiplicatives, dorénavant identifiables selon quelques critères particuliers**.

conclusion

Un long processus de recherche conduit  de la résolution de situations problématisées à la création de démarches plus générales de traitements pour aboutir à la production de concepts efficaces.
Quelle que soit la phase de ce processus de recherche, la réflexion métacognitive est partout présente.
Cette construction de savoirs s’accompagne d’une lente mais inéluctable élévation des niveaux d’abstraction. L’objet initial est l’étude de situations singulières, (le bateau, le jeu du chameau), puis de classes de situations équivalentes (classe des modulos 2, classe des modulos 3,..), ensuite de classes de classes équivalentes (classe des modulos)…

Les besoins d’efficacité, de rapidité, de simplicité des procédures de résolution conduisent la réflexion vers l’utilisation d’algorithmes généraux (routines*).
Avoir le « sens des opérations » suppose la capacité  de
– reconnaitre la classe d’une situation problématique (relation ? fonction numérique ? symétrie axiale ?, etc.) ;
–  choisir la routine de résolution de classe appropriée (démarche ou technique opératoire adéquate)

* voir partie 3 « didactique » et partie 4 « domaines math »

**voir partie 4 « domaines math/maths numériques »

le patrimoine mathématique de proximité

Il englobe toute l’activité mathématique individuelle, collective, et métamathématique de la classe. C’est notre histoire mathématique commune.
Il est alimenté par les recherches individuelles et collectives, par le témoignage des réussites petites ou grandes, des chemins personnels empruntés, de découvertes, des échecs, mais aussi par les apports extérieurs d’autres patrimoines maths (autres classes de l’école, nos correspondants,…)
Il s’enrichit des analyses communes, des propositions, des confrontations qui accompagnent les présentations des productions.
C’est un espace à la fois matériel et immatériel, un lieu de conservation, de références mais aussi d’élaboration et d’intégration des concepts maths.

Le patrimoine mathématique de l’individu

Le patrimoine mathématique de chaque enfant est composé par l’ensemble de ses productions mathématiques, essentiellement les recherches  libres (longues, courtes, en cours, momentanément arrêtées ou abandonnées), son cahier/classeur de math, mais aussi ses contributions au journal de classe, la partie personnelle qui lui est réservée dans l’intranet de l’école, ainsi que des objets, documents, à caractère mathématique qu’il a rapportés et présentés.

Le patrimoine mathématique de la classe

  Lors des présentations des recherches individuelles, les réussites (les difficultés aussi) sont remarquées, commentées par le groupe et partagées. Si elles apparaissent de façon récurrente dans les recherches et sont validées, alors elles sont homologuées comme modèle utilisable et versées dans le patrimoine mathématique de la classe. Chacun peut, s’il le juge utile, s’en inspirer, y puiser  ce dont il a besoin pour ses propres recherches.

  Voici quelques pratiques adoptées parce qu’elles se sont avérées efficaces :
– au démarrage, essayer de reproduire le phénomène avec « les moyens du bord », comme on peut : dessiner un trophée sportif symétrique, un motif sur un pull-over ou une tapisserie qui se répète (des « jumeaux »), ou le jouer ;
– trouver d’autres exemples, illustrations du phénomène, élargir l’ensemble de travail ;
– puis tenter de collecter des données sur le phénomène. S’il s’agit d’une situation numérique, accumuler beaucoup d’exemples ;
– faire des observations, des remarques ;
– se rappeler de la démarche suivie, dire comment on a fait ;
– présenter à la classe ;
etc.
D’autres actions plus techniques comme ordonner les longues listes numériques avant de les explorer horizontalement ou verticalement^* , utiliser un tableau, un diagramme, ou une technique de calcul plutôt que le recours au dessin … font également partie de cette mémoire collective, tout comme les recherches mathématiques de la classe en cours ou passées (celles de  l’année (ou des années) précédente(s)  quand c’est possible).

L’ensemble des découvertes personnelles entérinées, des concepts établis, est également versé dans la culture commune de la classe

* voir l’avant dernier chapitre de cette partie 3 : explorations

D’autres patrimoines mathématiques

Les patrimoines mathématiques des autres classes de l’école peuvent également constituer des ressources utiles, d’autant plus facilement s’il existe au niveau de la classe et de l’école un intranet (site internet accessible uniquement aux enfants de l’école) qui témoigne des travaux personnels et collectifs des élèves.

La correspondance scolaire favorise des échanges de tous ordres, sources possibles d’interrogations d’ordre mathématique :
– des comparaisons des milieux de vie du point de vie géographiques, historiques, sociologiques, culturels ;
– des travaux d’expression littéraires, artistiques ;
– et des productions mathématiques.
La correspondance offre ainsi à la classe la possibilité d’accéder à des patrimoines venus d’ailleurs, le patrimoine mathématique en particulier.

les réceptacles

le réceptacle matériel

Les résultats des recherches (événement de départ, résumé de démarche, technique opératoire efficace) sont conservés sur des supports analogiques (feuilles de papier dans classeurs, collées dans un livre de vie, affiches, journal scolaire…) ou numériques (site internet, intranet, base de données).
Ils sont affichés dans la classe et à l’extérieur de la classe pour les autres enfants de l’école.
Ils sont présents dans les expos proposées régulièrement aux parents.

le réceptacle immatériel

Les présentations de travaux, les moments d’échanges, de coopération, de confrontations, de découvertes, de jubilation individuelle ou collective qu’elles suscitent, participent également à l’émergence d’une culture orale collective.

les référentiels

Les résultats des recherches, les classifications et généralisations qui en sont tirées aboutissent, au fur et à mesure des montées en abstraction, à la formulation de « modèles » utilisables, de techniques opératoires efficaces et de nouveaux concepts.
Chaque individu dispose de ses propres références personnelles construites pendant le processus de recherche, consolidées si nécessaire au cours de moments de travail individualisés,  et également de  références collectives élaborées lors des présentations ou pendant des plages institutionnalisées animées par l’enseignant.

conclusion

La démarche suivie participe grandement à la satisfaction des trois besoins fondamentaux identifiés par la Théorie de l’Autodétermination comme favorables aux motivations autodéterminées très bénéfiques aux apprentissages et au bien-être de l’individu.
La possibilité du choix de l’événement de départ, de l’objet de recherche et de la démarche de résolution, le cheminement individuel vers la découverte d’une procédure experte répondent aux besoins d’autodétermination et de compétence.
La communication des travaux au et avec le groupe classe lors des présentations de recherches, les échanges, leur entrée dans le patrimoine de la classe, leur publication contribuent au besoin d’appartenance sociale (sentiment d’être  reconnu dans ses compétences, d’être respecté…)
Le patrimoine mathématique de proximité revêt une importance majeure dans la démarche. Il est le lieu de la mémoire individuelle et collective de la classe : événements relatés, situations traitées, démarches de résolution réussies (ou écartées), techniques opératoires validées, nouveaux savoirs acquis. C’est à partir de ce corpus indispensable que peuvent se développer les classifications et généralisations nécéssaires aux transferts des savoirs.
Le tâtonnement expérimental est à l’oeuvre tout au long du processus de la recherche libre mathématique. La construction individuelle et collective des concepts s’accompagne, lors des phases métamathématiques, d’une longue montée en abstraction  (passage des résolutions de situations singulières à des concepts plus généraux, puis à des concepts de concepts).