L’analyse de la démarche choisie et la réflexion sur celle-ci apparaissent comme une préoccupation récurrente du jeune chercheur au cours du processus de résolution du problème posé. Chaque réussite (démarche partielle ou plus élaborée, solution apportée, technique, outil utilisés,…) est remarquée, commentée lors des présentations de travaux à la classe. Des liens sont faits avec d’autres recherches, des ressemblances, des équivalences sont constatées. Si la solution proposée est définie clairement (description, conditions d’utilisation, mode d’emploi) et validée, alors elle rejoint le patrimoine mathématique de la classe.

Ce patrimoine collectif de proximité renferme ainsi un certain nombre de ressources (démarches, savoir-faire, procédures,…) qui peuvent être utilisées selon les besoins (ou pas) puis intégrées plus facilement dans le patrimoine personnel de chacun.
Il est un espace de rencontre des expériences singulières de chacun et de l’intelligence collective de la classe. Il est un lieu de construction des savoirs mathématiques.

Les routines

Une synthèse théorique

L’analyse par les enseignants des recherches libres d’enfants, complètes ou partielles, d’essais  déstructurés ou encourageants, de petits cheminements testés, abandonnés ou au contraire poursuivis, des défis posés, des questionnements, des directions suivies, des solutions apportées à chaque nouveau niveau d’abstraction  atteint, des motivations des chercheurs, a abouti à la compilation d’un certain nombre de stratégies de résolution, de processus de construction de concepts qui ont réussi.

Les démarches qui ont abouti ont été synthétisées à partir de multiples éléments puisés dans les recherches et dans le patrimoine de la classe puis ont été  écrites. On les appelle routines.
Les routines apparaissent comme un recueil d’actes réussis, un réservoir (non limitatif) de possibles qui peuvent s’actualiser ou pas dans la démarche du jeune chercheur.

Elles ont pour ambition d’aider l’enseignant dans l’acquisition de la culture mathématique nécessaire et de la maitrise technique de la recherche libre mathématique : accueillir en classe les événements prometteurs, accompagner sereinement l’enfant dans sa démarche tâtonnante de recherche et de construction de concepts mathématiques, couvrir les programmes officiels de l’école, du collège et plus.

Une tendance statistique forte

Une routine apparaît ainsi comme un concept théorique résultat d’une analyse  de recherches libres mathématiques d’enfants, individuelles ou collectives et de leur synthétisation.

Les cheminements individuels sont innombrables et variés (hétérogénéité). Ils s’orientent cependant suivant une direction générale qui, elle, paraît globalement et statistiquement invariante (homogénéité).

Un changement de type de représentation correspond à une montée en abstraction. Il dépend des besoins et des choix du chercheur : la solution choisie lui convient-elle ? Est-elle valide, assez économique, suffisamment rapide ?

L’élaboration des routines

De la disparité des processus singuliers de résolution à la routine

Un événement qui suscite l’intérêt devient après problématisation un point de départ d’investigation : un objet de recherche est posé. Le défi : comment y répondre ? Le processus de résolution peut démarrer. Chaque cheminement est singulier. Chaque exploration est différente et les solutions apportées diverses.
Des situations apparemment différentes (par exemple le bateau, le jeu du cheval, se ranger, danser en couple, faire équipe à deux…) ne seront pas, dans un premier temps, traitées de la même façon.
Cette hétérogénéité fait cependant apparaître des invariances dans leur déroulement, dans les processus d’abstraction dont la compilation a abouti à la rédaction de routines.

Les différentes routines

Une vingtaine de routines spécifiques est étroitement liée aux domaines mathématiques étudiés.

Trois routines  générales (« méta-routines ») s’en dégagent et font émerger une certaine homogénéité dans les démarches.

Des routines spécifiques par domaine mathématique

les domaines maths

Ce sont les situations de vie rencontrées en classe et à l’origine des points de départ de recherches qui ont déterminé le choix des domaines  mathématiques* : mathématique non-numérique, mathématique numérique, géométrie et structures.
Quelques concepts fondamentaux y ont également contribué :
. la logique : oui/non, et, ou, si…alors, les quantificateurs ∀, ∃ ;
. les ensembles, les propriétés ;
. les relations ;
. les fonctions ;
. les lois, les groupes.

Ces domaines sont suffisamment étendus pour couvrir les demandes des programmes officiels, et aller même au-delà.

* voir la partie 4

Des routines générales

Une analyse portant sur les routines elles-mêmes a dégagé une routine d’un niveau plus général (routine de routines ou méta-routine) qui se décline, selon les situations envisagées, en trois routines parallèles.
Les situations/événements sont classés suivant les concepts mathématiques sous-jacents * :

   – les situations qui relèvent des notions de propriétés, de relations (non fonctionnelles) dans lesquelles il s’agit de collecter, conserver, organiser des données et trouver des outils performants de représentation et de résolution (graphes, tableaux, diagrammes, …) : leur traitement est synthétisé dans la routine générale 1 ;

– les situations fonctionnelles qui amènent à la construction de techniques opératoires (x 4, savoir faire une symétrie axiale, …) : leur traitement est synthétisé dans la routine générale 2

– les situations de conjectures : leur traitement est synthétisé dans la routine générale 2bis

* tous ces concepts sont approfondis dans la partie 4 domaines math

Une routine, ce n’est pas…

– un modèle programmé qu’il faut absolument rechercher dans les événements et appliquer, en passant par toutes les étapes décrites, sans en oublier aucune. Les événements sont toujours plus complexes et les cheminements individuels plus divers ;
– un chemin obligatoire et identique pour tous qui s’opposerait à une démarche tâtonnante expérimentale et libre ;
– un algorithme, c’est à dire une procédure «description précise et rigoureuse d’une suite portant sur des informations qui permettent d’obtenir, en un nombre fini d’étapes, la solution d’un problème.»
– un remède miracle: une bonne formation mathématique de l’adulte n’est pas superflue.

Des routines pour apprendre à voir

Ce qui empêche en partie la recherche libre dans la classe, c’est l’enseignant et sa peur : « Je suis nul-le en math. », « Je ne vois pas les situations intéressantes. », « Je ne sais pas comment faire. », « Je ne sais pas comment aider les enfants. »,…

Si on ne sait pas comment démarrer, on peut dans un premier temps, s’inspirer de la routine, des étapes de son déroulement. De toute façon, les représentations personnelles des enfants auront, même dans le cadre d’une recherche fortement encadrée qui ménage néanmoins quelques moments de recherche libre, bien plus l’occasion d’émerger qu’au cours d’une leçon classique.
Si on ne veut pas se sentir dépassé, on peut s’essayer à la recherche collective sur un sujet unique et avancer prudemment et progressivement.
Les exemples proposés dans la présentation des routines peuvent servir de déclencheur pour l’adulte.
On peut se référer à la routine pour débloquer une situation de recherche qui semble dans l’impasse.
La routine peut rassurer l’enseignant en lui apportant une vision plus globale et lui permettra d’agir « plus localement » avec efficacité.
Moins l’enseignant est stressé, et plus il se sentira confiant en laissant l’enfant exprimer ses propres représentations et construire la mathématique.
Le fil rouge qui peut guider l’adulte serait la conscience d’abstraire pendant le processus de résolution.
Comment la réalité est-elle représentée? (une photo, un dessin ou une croix représentant un enfant ne sont bien sûr, pas équivalents).